Rozwiąż sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 2 i 4 to 4. Przekonwertuj wartości \frac{1}{2} i \frac{1}{4} na ułamki z mianownikiem 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Ponieważ \frac{2}{4} i \frac{1}{4} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Dodaj 2 i 1, aby uzyskać 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 4 i 8 to 8. Przekonwertuj wartości \frac{3}{4} i \frac{1}{8} na ułamki z mianownikiem 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Ponieważ \frac{6}{8} i \frac{1}{8} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Dodaj 6 i 1, aby uzyskać 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 8 i 16 to 16. Przekonwertuj wartości \frac{7}{8} i \frac{1}{16} na ułamki z mianownikiem 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Ponieważ \frac{14}{16} i \frac{1}{16} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Dodaj 14 i 1, aby uzyskać 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Podnieś \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} do potęgi 2, aby uzyskać \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, \frac{1}{2} do b i \frac{15}{16} do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 4 przez \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj \frac{1}{4} do \frac{15}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -\frac{1}{2} do 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Podziel \frac{3}{2} przez -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 2 od -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Podziel -\frac{5}{2} przez -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Podstaw -\frac{3}{4} do x w równaniu: \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Uprość. Wartość x=-\frac{3}{4} nie spełnia równania, ponieważ lewa i prawa strona mają przeciwne znaki.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Podstaw \frac{5}{4} do x w równaniu: \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Uprość. Wartość x=\frac{5}{4} spełnia równanie.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Równanie \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=\frac{5}{4}$$