Rozwiąż sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Rozwiąż względem x

$$x=3$$

Kroki rozwiązania

Odejmij \sqrt{2x-2} od obu stron równania.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-3} do potęgi 2, aby uzyskać x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{2x-2} do potęgi 2, aby uzyskać 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Odejmij 2 od 4, aby uzyskać 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Odejmij 2+2x od obu stron równania.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 2+2x, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Odejmij 2 od -3, aby uzyskać -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Połącz x i -2x, aby uzyskać -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Podnieś -4 do potęgi 2, aby uzyskać 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{2x-2} do potęgi 2, aby uzyskać 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 16 przez 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Odejmij 32x od obu stron.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Połącz 10x i -32x, aby uzyskać -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Dodaj 32 do obu stron.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Dodaj 25 i 32, aby uzyskać 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-22x+57 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-22 ab=57$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -22.

$$a=-19 b=-3$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-19=0 i x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Podstaw 19 do x w równaniu: \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Uprość. Wartość x=19 nie spełnia równania.

$$10=2$$

Podstaw 3 do x w równaniu: \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Uprość. Wartość x=3 spełnia równanie.

$$2=2$$

Równanie \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=3$$