Rozwiąż sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-1} do potęgi 2, aby uzyskać x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Dodaj -1 i 4, aby uzyskać 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+3} do potęgi 2, aby uzyskać x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Odejmij x+3 od obu stron równania.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do x+3, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Połącz 4x i -x, aby uzyskać 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Odejmij 3 od 12, aby uzyskać 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Rozwiń \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Podnieś -4 do potęgi 2, aby uzyskać 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-1} do potęgi 2, aby uzyskać x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 16 przez x-1.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3x+9\right)^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Odejmij 9x^{2} od obu stron.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Odejmij 54x od obu stron.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Połącz 16x i -54x, aby uzyskać -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Odejmij 81 od obu stron.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Odejmij 81 od -16, aby uzyskać -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -9 do a, -38 do b i -97 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Podnieś do kwadratu -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Pomnóż -4 przez -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Pomnóż 36 przez -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Dodaj 1444 do -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Liczba przeciwna do -38 to 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Pomnóż 2 przez -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 38 do 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Podziel 38+32i\sqrt{2} przez -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 32i\sqrt{2} od 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Podziel 38-32i\sqrt{2} przez -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Podstaw \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} do x w równaniu: \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Uprość. Wartość x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} spełnia równanie.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} do x w równaniu: \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Uprość. Wartość x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} nie spełnia równania.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} do x w równaniu: \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Uprość. Wartość x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} spełnia równanie.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Równanie \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$