Rozwiąż sqrt{x-1}=x

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-1} do potęgi 2, aby uzyskać x-1.

$$x-1=x^{2}$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$x-1-x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-x^{2}+x-1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, 1 do b i -1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 4 przez -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 1 do -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -1 do i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Podziel -1+i\sqrt{3} przez -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij i\sqrt{3} od -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

Podziel -1-i\sqrt{3} przez -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Podstaw \frac{-\sqrt{3}i+1}{2} do x w równaniu: \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Uprość. Wartość x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} nie spełnia równania.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Podstaw \frac{1+\sqrt{3}i}{2} do x w równaniu: \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Uprość. Wartość x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} spełnia równanie.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Równanie \sqrt{x-1}=x ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$