Rozwiąż sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}-1} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{2x+1} do potęgi 2, aby uzyskać 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Odejmij 2x od obu stron.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Odejmij 1 od obu stron.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Odejmij 1 od -1, aby uzyskać -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-2x-2=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -2 do b i -2 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Dodaj 4 do 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Liczba przeciwna do -2 to 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 2 do 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Podziel 2+2\sqrt{3} przez 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Podziel 2-2\sqrt{3} przez 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Podstaw \sqrt{3}+1 do x w równaniu: \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Uprość. Wartość x=\sqrt{3}+1 spełnia równanie.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw 1-\sqrt{3} do x w równaniu: \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Uprość. Wartość x=1-\sqrt{3} spełnia równanie.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Lista wszystkich rozwiązań równania \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Rozwiąż względem x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}-1} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{2x+1} do potęgi 2, aby uzyskać 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Odejmij 2x od obu stron.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Odejmij 1 od obu stron.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Odejmij 1 od -1, aby uzyskać -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-2x-2=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -2 do b i -2 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Dodaj 4 do 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Liczba przeciwna do -2 to 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 2 do 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Podziel 2+2\sqrt{3} przez 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Podziel 2-2\sqrt{3} przez 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Podstaw \sqrt{3}+1 do x w równaniu: \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Uprość. Wartość x=\sqrt{3}+1 spełnia równanie.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw 1-\sqrt{3} do x w równaniu: \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Wyrażenie \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} jest nieokreślone, ponieważ wyrażenie podpierwiastkowe nie może być ujemne.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Równanie \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=\sqrt{3}+1$$