Rozwiąż sqrt{x+7}+sqrt{x+2}=sqrt{18x}

$$\sqrt { x + 7 } + \sqrt { x + 2 } = \sqrt { 18 x }$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{\sqrt{554} + 27}{42} \approx 1,203266776$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+7} do potęgi 2, aby uzyskać x+7.

$$x+7+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+2} do potęgi 2, aby uzyskać x+2.

$$x+7+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+x+2=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Połącz x i x, aby uzyskać 2x.

$$2x+7+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+2=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Dodaj 7 i 2, aby uzyskać 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{18x} do potęgi 2, aby uzyskać 18x.

$$2x+9+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=18x$$

Odejmij 2x+9 od obu stron równania.

$$2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=18x-\left(2x+9\right)$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 2x+9, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=18x-2x-9$$

Połącz 18x i -2x, aby uzyskać 16x.

$$2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=16x-9$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Rozwiń \left(2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+7} do potęgi 2, aby uzyskać x+7.

$$4\left(x+7\right)\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+2} do potęgi 2, aby uzyskać x+2.

$$4\left(x+7\right)\left(x+2\right)=\left(16x-9\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez x+7.

$$\left(4x+28\right)\left(x+2\right)=\left(16x-9\right)^{2}$$

Aby zastosować właściwość rozdzielności, pomnóż każdy czynnik wartości 4x+28 przez każdy czynnik wartości x+2.

$$4x^{2}+8x+28x+56=\left(16x-9\right)^{2}$$

Połącz 8x i 28x, aby uzyskać 36x.

$$4x^{2}+36x+56=\left(16x-9\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(16x-9\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+56=256x^{2}-288x+81$$

Odejmij 256x^{2} od obu stron.

$$4x^{2}+36x+56-256x^{2}=-288x+81$$

Połącz 4x^{2} i -256x^{2}, aby uzyskać -252x^{2}.

$$-252x^{2}+36x+56=-288x+81$$

Dodaj 288x do obu stron.

$$-252x^{2}+36x+56+288x=81$$

Połącz 36x i 288x, aby uzyskać 324x.

$$-252x^{2}+324x+56=81$$

Odejmij 81 od obu stron.

$$-252x^{2}+324x+56-81=0$$

Odejmij 81 od 56, aby uzyskać -25.

$$-252x^{2}+324x-25=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -252 do a, 324 do b i -25 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-324±\sqrt{324^{2}-4\left(-252\right)\left(-25\right)}}{2\left(-252\right)}$$

Podnieś do kwadratu 324.

$$x=\frac{-324±\sqrt{104976-4\left(-252\right)\left(-25\right)}}{2\left(-252\right)}$$

Pomnóż -4 przez -252.

$$x=\frac{-324±\sqrt{104976+1008\left(-25\right)}}{2\left(-252\right)}$$

Pomnóż 1008 przez -25.

$$x=\frac{-324±\sqrt{104976-25200}}{2\left(-252\right)}$$

Dodaj 104976 do -25200.

$$x=\frac{-324±\sqrt{79776}}{2\left(-252\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 79776.

$$x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{2\left(-252\right)}$$

Pomnóż 2 przez -252.

$$x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{-504}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{-504} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -324 do 12\sqrt{554}.

$$x=\frac{12\sqrt{554}-324}{-504}$$

Podziel -324+12\sqrt{554} przez -504.

$$x=-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{-504} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 12\sqrt{554} od -324.

$$x=\frac{-12\sqrt{554}-324}{-504}$$

Podziel -324-12\sqrt{554} przez -504.

$$x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$

Podstaw -\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} do x w równaniu: \sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{18x}.

$$\sqrt{-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+7}+\sqrt{-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+2}=\sqrt{18\left(-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}\right)}$$

Uprość. Wartość x=-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} nie spełnia równania.

$$\left(-\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{107}{14}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(-\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{37}{14}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{3}{7}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{81}{7}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw \frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} do x w równaniu: \sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{18x}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+7}+\sqrt{\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+2}=\sqrt{18\left(\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}\right)}$$

Uprość. Wartość x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} spełnia równanie.

$$\left(\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{107}{14}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{37}{14}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{3}{7}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{81}{7}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Równanie \sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=\sqrt{18x} ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$