Rozwiąż sqrt{x+5}+sqrt{20-x}=7

$$\sqrt { x + 5 } + \sqrt { 20 - x } = 7$$

Rozwiąż względem x

$$x=11$$

$$x=4$$

Kroki rozwiązania

Odejmij \sqrt{20-x} od obu stron równania.

$$\sqrt{x+5}=7-\sqrt{20-x}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(7-\sqrt{20-x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+5} do potęgi 2, aby uzyskać x+5.

$$x+5=\left(7-\sqrt{20-x}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(7-\sqrt{20-x}\right)^{2}.

$$x+5=49-14\sqrt{20-x}+\left(\sqrt{20-x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{20-x} do potęgi 2, aby uzyskać 20-x.

$$x+5=49-14\sqrt{20-x}+20-x$$

Dodaj 49 i 20, aby uzyskać 69.

$$x+5=69-14\sqrt{20-x}-x$$

Odejmij 69-x od obu stron równania.

$$x+5-\left(69-x\right)=-14\sqrt{20-x}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 69-x, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$x+5-69+x=-14\sqrt{20-x}$$

Odejmij 69 od 5, aby uzyskać -64.

$$x-64+x=-14\sqrt{20-x}$$

Połącz x i x, aby uzyskać 2x.

$$2x-64=-14\sqrt{20-x}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(2x-64\right)^{2}=\left(-14\sqrt{20-x}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2x-64\right)^{2}.

$$4x^{2}-256x+4096=\left(-14\sqrt{20-x}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(-14\sqrt{20-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-256x+4096=\left(-14\right)^{2}\left(\sqrt{20-x}\right)^{2}$$

Podnieś -14 do potęgi 2, aby uzyskać 196.

$$4x^{2}-256x+4096=196\left(\sqrt{20-x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{20-x} do potęgi 2, aby uzyskać 20-x.

$$4x^{2}-256x+4096=196\left(20-x\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 196 przez 20-x.

$$4x^{2}-256x+4096=3920-196x$$

Odejmij 3920 od obu stron.

$$4x^{2}-256x+4096-3920=-196x$$

Odejmij 3920 od 4096, aby uzyskać 176.

$$4x^{2}-256x+176=-196x$$

Dodaj 196x do obu stron.

$$4x^{2}-256x+176+196x=0$$

Połącz -256x i 196x, aby uzyskać -60x.

$$4x^{2}-60x+176=0$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x^{2}-15x+44=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx+44. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-15 ab=1\times 44=44$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -15.

$$a=-11 b=-4$$

Przepisz x^{2}-15x+44 jako \left(x^{2}-11x\right)+\left(-4x+44\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(-4x+44\right)$$

x w pierwszej i -4 w drugiej grupie.

$$x\left(x-11\right)-4\left(x-11\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-11, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-11\right)\left(x-4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-11=0 i x-4=0.

$$x=11 x=4$$

Podstaw 11 do x w równaniu: \sqrt{x+5}+\sqrt{20-x}=7.

$$\sqrt{11+5}+\sqrt{20-11}=7$$

Uprość. Wartość x=11 spełnia równanie.

$$7=7$$

Podstaw 4 do x w równaniu: \sqrt{x+5}+\sqrt{20-x}=7.

$$\sqrt{4+5}+\sqrt{20-4}=7$$

Uprość. Wartość x=4 spełnia równanie.

$$7=7$$

Lista wszystkich rozwiązań równania \sqrt{x+5}=-\sqrt{20-x}+7.

$$x=11 x=4$$