Rozwiąż sqrt{x+2}-sqrt{3x-5}=-1

$$\sqrt { x + 2 } - \sqrt { 3 x - 5 } = - 1$$

Rozwiąż względem x

$$x=7$$

Kroki rozwiązania

Odejmij -\sqrt{3x-5} od obu stron równania.

$$\sqrt{x+2}=-1+\sqrt{3x-5}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(-1+\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+2} do potęgi 2, aby uzyskać x+2.

$$x+2=\left(-1+\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(-1+\sqrt{3x-5}\right)^{2}.

$$x+2=1-2\sqrt{3x-5}+\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{3x-5} do potęgi 2, aby uzyskać 3x-5.

$$x+2=1-2\sqrt{3x-5}+3x-5$$

Odejmij 5 od 1, aby uzyskać -4.

$$x+2=-4-2\sqrt{3x-5}+3x$$

Odejmij -4+3x od obu stron równania.

$$x+2-\left(-4+3x\right)=-2\sqrt{3x-5}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do -4+3x, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$x+2+4-3x=-2\sqrt{3x-5}$$

Dodaj 2 i 4, aby uzyskać 6.

$$x+6-3x=-2\sqrt{3x-5}$$

Połącz x i -3x, aby uzyskać -2x.

$$-2x+6=-2\sqrt{3x-5}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(-2x+6\right)^{2}=\left(-2\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(-2x+6\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=\left(-2\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(-2\sqrt{3x-5}\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Podnieś -2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(\sqrt{3x-5}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{3x-5} do potęgi 2, aby uzyskać 3x-5.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(3x-5\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez 3x-5.

$$4x^{2}-24x+36=12x-20$$

Odejmij 12x od obu stron.

$$4x^{2}-24x+36-12x=-20$$

Połącz -24x i -12x, aby uzyskać -36x.

$$4x^{2}-36x+36=-20$$

Dodaj 20 do obu stron.

$$4x^{2}-36x+36+20=0$$

Dodaj 36 i 20, aby uzyskać 56.

$$4x^{2}-36x+56=0$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x^{2}-9x+14=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx+14. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-9 ab=1\times 14=14$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -9.

$$a=-7 b=-2$$

Przepisz x^{2}-9x+14 jako \left(x^{2}-7x\right)+\left(-2x+14\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-2x+14\right)$$

x w pierwszej i -2 w drugiej grupie.

$$x\left(x-7\right)-2\left(x-7\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-7, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-7\right)\left(x-2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-7=0 i x-2=0.

$$x=7 x=2$$

Podstaw 7 do x w równaniu: \sqrt{x+2}-\sqrt{3x-5}=-1.

$$\sqrt{7+2}-\sqrt{3\times 7-5}=-1$$

Uprość. Wartość x=7 spełnia równanie.

$$-1=-1$$

Podstaw 2 do x w równaniu: \sqrt{x+2}-\sqrt{3x-5}=-1.

$$\sqrt{2+2}-\sqrt{3\times 2-5}=-1$$

Uprość. Wartość x=2 nie spełnia równania, ponieważ lewa i prawa strona mają przeciwne znaki.

$$1=-1$$

Podstaw 7 do x w równaniu: \sqrt{x+2}-\sqrt{3x-5}=-1.

$$\sqrt{7+2}-\sqrt{3\times 7-5}=-1$$

Uprość. Wartość x=7 spełnia równanie.

$$-1=-1$$

Równanie \sqrt{x+2}=\sqrt{3x-5}-1 ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=7$$