Rozwiąż sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Rozwiąż względem x

$$x=2$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{5x-1} do potęgi 2, aby uzyskać 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{3x-2} do potęgi 2, aby uzyskać 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Połącz 5x i 3x, aby uzyskać 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Odejmij 2 od -1, aby uzyskać -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-1} do potęgi 2, aby uzyskać x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Odejmij 8x-3 od obu stron równania.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 8x-3, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Połącz x i -8x, aby uzyskać -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Dodaj -1 i 3, aby uzyskać 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Rozwiń \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Podnieś -2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{5x-1} do potęgi 2, aby uzyskać 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{3x-2} do potęgi 2, aby uzyskać 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Aby zastosować właściwość rozdzielności, pomnóż każdy czynnik wartości 20x-4 przez każdy czynnik wartości 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Połącz -40x i -12x, aby uzyskać -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Odejmij 49x^{2} od obu stron.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Połącz 60x^{2} i -49x^{2}, aby uzyskać 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Dodaj 28x do obu stron.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Połącz -52x i 28x, aby uzyskać -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Odejmij 4 od obu stron.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Odejmij 4 od 8, aby uzyskać 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 11x^{2}+ax+bx+4. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -24.

$$a=-22 b=-2$$

Przepisz 11x^{2}-24x+4 jako \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

11x w pierwszej i -2 w drugiej grupie.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-2, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-2=0 i 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Podstaw \frac{2}{11} do x w równaniu: \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Wyrażenie \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} jest nieokreślone, ponieważ wyrażenie podpierwiastkowe nie może być ujemne.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Podstaw 2 do x w równaniu: \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Uprość. Wartość x=2 spełnia równanie.

$$1=1$$

Równanie \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=2$$