Rozwiąż sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Kroki rozwiązania

Odejmij -\sqrt{15+x^{2}} od obu stron równania.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{25-x^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{15+x^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Dodaj 16 i 15, aby uzyskać 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Odejmij 31+x^{2} od obu stron równania.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 31+x^{2}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Odejmij 31 od 25, aby uzyskać -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Połącz -x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Aby podnieść potęgę do innej potęgi, pomnóż wykładniki. Pomnóż 2 przez 2, aby uzyskać 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś 8 do potęgi 2, aby uzyskać 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{15+x^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 64 przez 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Odejmij 960 od obu stron.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Odejmij 960 od 36, aby uzyskać -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Odejmij 64x^{2} od obu stron.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Połącz 24x^{2} i -64x^{2}, aby uzyskać -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Podstaw t dla x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 4 do a, -40 do b i -924 do c w formule kwadratowej.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Wykonaj obliczenia.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Umożliwia rozwiązanie równania t=\frac{40±128}{8}, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$t=21 t=-11$$

Ponieważ x=t^{2}, rozwiązania są uzyskiwane przez ocenę x=±\sqrt{t} dla każdego t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Podstaw -\sqrt{21} do x w równaniu: \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Uprość. Wartość x=-\sqrt{21} nie spełnia równania, ponieważ lewa i prawa strona mają przeciwne znaki.

$$-4=4$$

Podstaw \sqrt{21} do x w równaniu: \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Uprość. Wartość x=\sqrt{21} nie spełnia równania, ponieważ lewa i prawa strona mają przeciwne znaki.

$$-4=4$$

Podstaw -\sqrt{11}i do x w równaniu: \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Uprość. Wartość x=-\sqrt{11}i spełnia równanie.

$$4=4$$

Podstaw \sqrt{11}i do x w równaniu: \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Uprość. Wartość x=\sqrt{11}i spełnia równanie.

$$4=4$$

Lista wszystkich rozwiązań równania \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$