Rozwiąż sqrt{2x+1}-sqrt{x+2}=2sqrt{3}

$$\sqrt { 2 x + 1 } - \sqrt { x + 2 } = 2 \sqrt { 3 }$$

Rozwiąż względem x

$$x=73$$

Kroki rozwiązania

Odejmij -\sqrt{x+2} od obu stron równania.

$$\sqrt{2x+1}=2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}=\left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{2x+1} do potęgi 2, aby uzyskać 2x+1.

$$2x+1=\left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$2x+1=4\left(\sqrt{3}\right)^{2}+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$2x+1=4\times 3+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Pomnóż 4 przez 3, aby uzyskać 12.

$$2x+1=12+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+2} do potęgi 2, aby uzyskać x+2.

$$2x+1=12+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+x+2$$

Dodaj 12 i 2, aby uzyskać 14.

$$2x+1=14+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+x$$

Odejmij 14+x od obu stron równania.

$$2x+1-\left(14+x\right)=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 14+x, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$2x+1-14-x=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Odejmij 14 od 1, aby uzyskać -13.

$$2x-13-x=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Połącz 2x i -x, aby uzyskać x.

$$x-13=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(x-13\right)^{2}=\left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-13\right)^{2}.

$$x^{2}-26x+169=\left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$x^{2}-26x+169=4^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Podnieś 4 do potęgi 2, aby uzyskać 16.

$$x^{2}-26x+169=16\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$x^{2}-26x+169=16\times 3\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Pomnóż 16 przez 3, aby uzyskać 48.

$$x^{2}-26x+169=48\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+2} do potęgi 2, aby uzyskać x+2.

$$x^{2}-26x+169=48\left(x+2\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 48 przez x+2.

$$x^{2}-26x+169=48x+96$$

Odejmij 48x od obu stron.

$$x^{2}-26x+169-48x=96$$

Połącz -26x i -48x, aby uzyskać -74x.

$$x^{2}-74x+169=96$$

Odejmij 96 od obu stron.

$$x^{2}-74x+169-96=0$$

Odejmij 96 od 169, aby uzyskać 73.

$$x^{2}-74x+73=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-74x+73 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-74 ab=73$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Jedyna taka para to rozwiązanie systemowe.

$$a=-73 b=-1$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-73\right)\left(x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-73=0 i x-1=0.

$$x=73 x=1$$

Podstaw 73 do x w równaniu: \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3}.

$$\sqrt{2\times 73+1}-\sqrt{73+2}=2\sqrt{3}$$

Uprość. Wartość x=73 spełnia równanie.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw 1 do x w równaniu: \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3}.

$$\sqrt{2\times 1+1}-\sqrt{1+2}=2\sqrt{3}$$

Uprość. Wartość x=1 nie spełnia równania.

$$0=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw 73 do x w równaniu: \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3}.

$$\sqrt{2\times 73+1}-\sqrt{73+2}=2\sqrt{3}$$

Uprość. Wartość x=73 spełnia równanie.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Równanie \sqrt{2x+1}=\sqrt{x+2}+2\sqrt{3} ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=73$$