Rozwiąż sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{2-x} do potęgi 2, aby uzyskać 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Dodaj 2x do obu stron.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Połącz -x i 2x, aby uzyskać x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Odejmij 1 od obu stron.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Odejmij 1 od 2, aby uzyskać 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-x^{2}+x+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, 1 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 1 do 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -1 do \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Podziel -1+\sqrt{5} przez -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij \sqrt{5} od -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Podziel -1-\sqrt{5} przez -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Podstaw \frac{1-\sqrt{5}}{2} do x w równaniu: \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Uprość. Wartość x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} nie spełnia równania, ponieważ lewa i prawa strona mają przeciwne znaki.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw \frac{\sqrt{5}+1}{2} do x w równaniu: \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Uprość. Wartość x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} spełnia równanie.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Równanie \sqrt{2-x}=x-1 ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$