Rozwiąż sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Rozwiąż względem x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Kroki rozwiązania

Odejmij -\sqrt{19-x^{2}} od obu stron równania.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{15+x^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{19-x^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Dodaj 4 i 19, aby uzyskać 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Odejmij 23-x^{2} od obu stron równania.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 23-x^{2}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Odejmij 23 od 15, aby uzyskać -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Połącz x^{2} i x^{2}, aby uzyskać 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Aby podnieść potęgę do innej potęgi, pomnóż wykładniki. Pomnóż 2 przez 2, aby uzyskać 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś 4 do potęgi 2, aby uzyskać 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{19-x^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 16 przez 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Odejmij 304 od obu stron.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Odejmij 304 od 64, aby uzyskać -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Dodaj 16x^{2} do obu stron.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Połącz -32x^{2} i 16x^{2}, aby uzyskać -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Podstaw t dla x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 4 do a, -16 do b i -240 do c w formule kwadratowej.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Wykonaj obliczenia.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Umożliwia rozwiązanie równania t=\frac{16±64}{8}, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$t=10 t=-6$$

Ponieważ x=t^{2}, rozwiązania są uzyskiwane przez ocenę x=±\sqrt{t} pozytywnej t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Podstaw \sqrt{10} do x w równaniu: \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Uprość. Wartość x=\sqrt{10} spełnia równanie.

$$2=2$$

Podstaw -\sqrt{10} do x w równaniu: \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Uprość. Wartość x=-\sqrt{10} spełnia równanie.

$$2=2$$

Lista wszystkich rozwiązań równania \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$