Rozwiąż sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Rozwiąż względem x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Dodaj 4 i 4, aby uzyskać 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Liczba przeciwna do -2 to 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Dodaj 4 i 16, aby uzyskać 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Połącz x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Odejmij 4x od obu stron.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Połącz -4x i -4x, aby uzyskać -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Odejmij 8 od obu stron.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Odejmij 8 od 20, aby uzyskać 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Odejmij y^{2} od obu stron.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Połącz y^{2} i -y^{2}, aby uzyskać 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Dodaj 4y do obu stron.

$$-8x=12-8y+4y$$

Połącz -8y i 4y, aby uzyskać -4y.

$$-8x=12-4y$$

Podziel obie strony przez -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Dzielenie przez -8 cofa mnożenie przez -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Podziel 12-4y przez -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Podstaw \frac{y-3}{2} do x w równaniu: \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Uprość. Wartość x=\frac{y-3}{2} spełnia równanie.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Równanie \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Rozwiąż względem y

$$y=2x+3$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Dodaj 4 i 4, aby uzyskać 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Liczba przeciwna do -2 to 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Dodaj 4 i 16, aby uzyskać 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Odejmij y^{2} od obu stron.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Połącz y^{2} i -y^{2}, aby uzyskać 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Dodaj 8y do obu stron.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Połącz -4y i 8y, aby uzyskać 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Połącz x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Dodaj 4x do obu stron.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Połącz 4x i 4x, aby uzyskać 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Odejmij 8 od obu stron.

$$4y=8x+20-8$$

Odejmij 8 od 20, aby uzyskać 12.

$$4y=8x+12$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Podziel 8x+12 przez 4.

$$y=2x+3$$

Podstaw 2x+3 do y w równaniu: \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Uprość. Wartość y=2x+3 spełnia równanie.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Równanie \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} ma unikatowe rozwiązanie.

$$y=2x+3$$