Rozwiąż quad15x^2+23x-28=0

$$\quad 15 x ^ { 2 } + 23 x - 28 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 15x^{2}+ax+bx-28. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=23 ab=15\left(-28\right)=-420$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -420.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 23.

$$a=-12 b=35$$

Przepisz 15x^{2}+23x-28 jako \left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right).

$$\left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right)$$

3x w pierwszej i 7 w drugiej grupie.

$$3x\left(5x-4\right)+7\left(5x-4\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 5x-4, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(5x-4\right)\left(3x+7\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 5x-4=0 i 3x+7=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 15 do a, 23 do b i -28 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Podnieś do kwadratu 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Pomnóż -4 przez 15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-60\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Pomnóż -60 przez -28.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1680}}{2\times 15}$$

Dodaj 529 do 1680.

$$x=\frac{-23±\sqrt{2209}}{2\times 15}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2209.

$$x=\frac{-23±47}{2\times 15}$$

Pomnóż 2 przez 15.

$$x=\frac{-23±47}{30}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-23±47}{30} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -23 do 47.

$$x=\frac{24}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{24}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=\frac{4}{5}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-23±47}{30} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 47 od -23.

$$x=-\frac{70}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{-70}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 10.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

Dodaj 28 do obu stron równania.

$$15x^{2}+23x-28-\left(-28\right)=-\left(-28\right)$$

Odjęcie -28 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$15x^{2}+23x=-\left(-28\right)$$

Odejmij -28 od 0.

$$15x^{2}+23x=28$$

Podziel obie strony przez 15.

$$\frac{15x^{2}+23x}{15}=\frac{28}{15}$$

Dzielenie przez 15 cofa mnożenie przez 15.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x=\frac{28}{15}$$

Podziel \frac{23}{15}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{23}{30}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{23}{30} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{28}{15}+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{23}{30}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{28}{15}+\frac{529}{900}$$

Dodaj \frac{28}{15} do \frac{529}{900}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{2209}{900}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{2209}{900}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{900}}$$

Uprość.

$$x+\frac{23}{30}=\frac{47}{30} x+\frac{23}{30}=-\frac{47}{30}$$

Odejmij \frac{23}{30} od obu stron równania.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$