Rozwiąż {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$3x+5y=4$$

Odejmij 5y od obu stron równania.

$$3x=-5y+4$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Podstaw \frac{-5y+4}{3} do x w drugim równaniu: x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Dodaj -\frac{5y}{3} do -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Odejmij \frac{4}{3} od obu stron równania.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{14}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=-1$$

Podstaw -1 do y w równaniu x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Pomnóż -\frac{5}{3} przez -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Dodaj \frac{4}{3} do \frac{5}{3}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=3,y=-1$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=3,y=-1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Aby czynniki 3x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Uprość.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Odejmij 3x-9y=18 od 3x+5y=4, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Dodaj 3x do -3x. Czynniki 3x i -3x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$5y+9y=4-18$$

Dodaj 5y do 9y.

$$14y=4-18$$

Dodaj 4 do -18.

$$14y=-14$$

Podziel obie strony przez 14.

$$y=-1$$

Podstaw -1 do y w równaniu x-3y=6. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Pomnóż -3 przez -1.

$$x+3=6$$

Odejmij 3 od obu stron równania.

$$x=3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=3,y=-1$$