Rozwiąż {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj y do obu stron.

$$x+y=5$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+y=5$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$x=-y+5$$

Podstaw -y+5 do x w drugim równaniu: 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Pomnóż 7 przez -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Dodaj -7y do 3y.

$$-4y+35=47$$

Odejmij 35 od obu stron równania.

$$-4y=12$$

Podziel obie strony przez -4.

$$y=-3$$

Podstaw -3 do y w równaniu x=-y+5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Pomnóż -1 przez -3.

$$x=3+5$$

Dodaj 5 do 3.

$$x=8$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=8,y=-3$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj y do obu stron.

$$x+y=5$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=8,y=-3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj y do obu stron.

$$x+y=5$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Aby czynniki x i 7x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 7 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Uprość.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Odejmij 7x+3y=47 od 7x+7y=35, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Dodaj 7x do -7x. Czynniki 7x i -7x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$7y-3y=35-47$$

Dodaj 7y do -3y.

$$4y=35-47$$

Dodaj 35 do -47.

$$4y=-12$$

Podziel obie strony przez 4.

$$y=-3$$

Podstaw -3 do y w równaniu 7x+3y=47. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Pomnóż 3 przez -3.

$$7x-9=47$$

Dodaj 9 do obu stron równania.

$$7x=56$$

Podziel obie strony przez 7.

$$x=8$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=8,y=-3$$