Rozwiąż {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 3 przez 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Dodaj 3 i 1, aby uzyskać 4.

$$x+2y=4+3y$$

Odejmij 3y od obu stron.

$$x+2y-3y=4$$

Połącz 2y i -3y, aby uzyskać -y.

$$x-y=4$$

Uwzględnij drugie równanie. Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Dodaj 2y do obu stron.

$$8-y+2y=2+3x$$

Połącz -y i 2y, aby uzyskać y.

$$8+y=2+3x$$

Odejmij 3x od obu stron.

$$8+y-3x=2$$

Odejmij 8 od obu stron.

$$y-3x=2-8$$

Odejmij 8 od 2, aby uzyskać -6.

$$y-3x=-6$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x-y=4$$

Dodaj y do obu stron równania.

$$x=y+4$$

Podstaw y+4 do x w drugim równaniu: -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Pomnóż -3 przez y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Dodaj -3y do y.

$$-2y-12=-6$$

Dodaj 12 do obu stron równania.

$$-2y=6$$

Podziel obie strony przez -2.

$$y=-3$$

Podstaw -3 do y w równaniu x=y+4. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-3+4$$

Dodaj 4 do -3.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=-3$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 3 przez 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Dodaj 3 i 1, aby uzyskać 4.

$$x+2y=4+3y$$

Odejmij 3y od obu stron.

$$x+2y-3y=4$$

Połącz 2y i -3y, aby uzyskać -y.

$$x-y=4$$

Uwzględnij drugie równanie. Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Dodaj 2y do obu stron.

$$8-y+2y=2+3x$$

Połącz -y i 2y, aby uzyskać y.

$$8+y=2+3x$$

Odejmij 3x od obu stron.

$$8+y-3x=2$$

Odejmij 8 od obu stron.

$$y-3x=2-8$$

Odejmij 8 od 2, aby uzyskać -6.

$$y-3x=-6$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=1,y=-3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 3 przez 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Dodaj 3 i 1, aby uzyskać 4.

$$x+2y=4+3y$$

Odejmij 3y od obu stron.

$$x+2y-3y=4$$

Połącz 2y i -3y, aby uzyskać -y.

$$x-y=4$$

Uwzględnij drugie równanie. Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Dodaj 2y do obu stron.

$$8-y+2y=2+3x$$

Połącz -y i 2y, aby uzyskać y.

$$8+y=2+3x$$

Odejmij 3x od obu stron.

$$8+y-3x=2$$

Odejmij 8 od obu stron.

$$y-3x=2-8$$

Odejmij 8 od 2, aby uzyskać -6.

$$y-3x=-6$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Aby czynniki x i -3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Uprość.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Odejmij -3x+y=-6 od -3x+3y=-12, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Dodaj -3x do 3x. Czynniki -3x i 3x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$3y-y=-12+6$$

Dodaj 3y do -y.

$$2y=-12+6$$

Dodaj -12 do 6.

$$2y=-6$$

Podziel obie strony przez 2.

$$y=-3$$

Podstaw -3 do y w równaniu -3x+y=-6. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$-3x-3=-6$$

Dodaj 3 do obu stron równania.

$$-3x=-3$$

Podziel obie strony przez -3.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=-3$$