Rozwiąż {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$5x-4y=-7$$

Dodaj 4y do obu stron równania.

$$5x=4y-7$$

Podziel obie strony przez 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Pomnóż \frac{1}{5} przez 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Podstaw \frac{4y-7}{5} do x w drugim równaniu: -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Pomnóż -6 przez \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Dodaj -\frac{24y}{5} do 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Odejmij \frac{42}{5} od obu stron równania.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{16}{5}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=-2$$

Podstaw -2 do y w równaniu x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Pomnóż \frac{4}{5} przez -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Dodaj -\frac{7}{5} do -\frac{8}{5}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-3,y=-2$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-3,y=-2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Aby czynniki 5x i -6x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -6 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Uprość.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Odejmij -30x+40y=10 od -30x+24y=42, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Dodaj -30x do 30x. Czynniki -30x i 30x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$24y-40y=42-10$$

Dodaj 24y do -40y.

$$-16y=42-10$$

Dodaj 42 do -10.

$$-16y=32$$

Podziel obie strony przez -16.

$$y=-2$$

Podstaw -2 do y w równaniu -6x+8y=2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Pomnóż 8 przez -2.

$$-6x-16=2$$

Dodaj 16 do obu stron równania.

$$-6x=18$$

Podziel obie strony przez -6.

$$x=-3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-3,y=-2$$