Rozwiąż {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x+3y=10$$

Odejmij 3y od obu stron równania.

$$2x=-3y+10$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Podstaw -\frac{3y}{2}+5 do x w drugim równaniu: -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Pomnóż -3 przez -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Dodaj \frac{9y}{2} do y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Dodaj 15 do obu stron równania.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Podziel obie strony równania przez \frac{11}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=6$$

Podstaw 6 do y w równaniu x=-\frac{3}{2}y+5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Pomnóż -\frac{3}{2} przez 6.

$$x=-9+5$$

Dodaj 5 do -9.

$$x=-4$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-4,y=6$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-4,y=6$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Aby czynniki 2x i -3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Uprość.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

Odejmij -6x+2y=36 od -6x-9y=-30, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Dodaj -6x do 6x. Czynniki -6x i 6x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-9y-2y=-30-36$$

Dodaj -9y do -2y.

$$-11y=-30-36$$

Dodaj -30 do -36.

$$-11y=-66$$

Podziel obie strony przez -11.

$$y=6$$

Podstaw 6 do y w równaniu -3x+y=18. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$-3x+6=18$$

Odejmij 6 od obu stron równania.

$$-3x=12$$

Podziel obie strony przez -3.

$$x=-4$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-4,y=6$$