Rozwiąż {l}{y=-x}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=-2$$

$$y=2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj x do obu stron.

$$y+x=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=6$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla y izolując y na lewej stronie znaku równości.

$$y+x=0$$

Odejmij x od obu stron równania.

$$y=-x$$

Podstaw -x do y w drugim równaniu: y-2x=6.

$$-x-2x=6$$

Dodaj -x do -2x.

$$-3x=6$$

Podziel obie strony przez -3.

$$x=-2$$

Podstaw -2 do x w równaniu y=-x. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=-\left(-2\right)$$

Pomnóż -1 przez -2.

$$y=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=2,x=-2$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj x do obu stron.

$$y+x=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=6$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=2,x=-2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj x do obu stron.

$$y+x=0$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=6$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Odejmij y-2x=6 od y+x=0, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$y-y+x+2x=-6$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$x+2x=-6$$

Dodaj x do 2x.

$$3x=-6$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=-2$$

Podstaw -2 do x w równaniu y-2x=6. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y-2\left(-2\right)=6$$

Pomnóż -2 przez -2.

$$y+4=6$$

Odejmij 4 od obu stron równania.

$$y=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=2,x=-2$$