Rozwiąż {l}{y=-3x+5}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x + 5 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=1$$

$$y=2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj 3x do obu stron.

$$y+3x=5$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=0$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla y izolując y na lewej stronie znaku równości.

$$y+3x=5$$

Odejmij 3x od obu stron równania.

$$y=-3x+5$$

Podstaw -3x+5 do y w drugim równaniu: y-2x=0.

$$-3x+5-2x=0$$

Dodaj -3x do -2x.

$$-5x+5=0$$

Odejmij 5 od obu stron równania.

$$-5x=-5$$

Podziel obie strony przez -5.

$$x=1$$

Podstaw 1 do x w równaniu y=-3x+5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=-3+5$$

Dodaj 5 do -3.

$$y=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=2,x=1$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj 3x do obu stron.

$$y+3x=5$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=0$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{3}{-2-3}\\-\frac{1}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=2,x=1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj 3x do obu stron.

$$y+3x=5$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 2x od obu stron.

$$y-2x=0$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Odejmij y-2x=0 od y+3x=5, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$y-y+3x+2x=5$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$3x+2x=5$$

Dodaj 3x do 2x.

$$5x=5$$

Podziel obie strony przez 5.

$$x=1$$

Podstaw 1 do x w równaniu y-2x=0. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y-2=0$$

Dodaj 2 do obu stron równania.

$$y=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=2,x=1$$