Rozwiąż {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x-3-y=0$$

Dodaj 3 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$x-y=3$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij y od obu stron.

$$37-3x-y=0$$

Odejmij 37 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$-3x-y=-37$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x-y=3$$

Dodaj y do obu stron równania.

$$x=y+3$$

Podstaw y+3 do x w drugim równaniu: -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Pomnóż -3 przez y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Dodaj -3y do -y.

$$-4y-9=-37$$

Dodaj 9 do obu stron równania.

$$-4y=-28$$

Podziel obie strony przez -4.

$$y=7$$

Podstaw 7 do y w równaniu x=y+3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=7+3$$

Dodaj 3 do 7.

$$x=10$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=10,y=7$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x-3-y=0$$

Dodaj 3 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$x-y=3$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij y od obu stron.

$$37-3x-y=0$$

Odejmij 37 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$-3x-y=-37$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=10,y=7$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x-3-y=0$$

Dodaj 3 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$x-y=3$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij y od obu stron.

$$37-3x-y=0$$

Odejmij 37 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$-3x-y=-37$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Odejmij -3x-y=-37 od x-y=3, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Dodaj -y do y. Czynniki -y i y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$x+3x=3+37$$

Dodaj x do 3x.

$$4x=3+37$$

Dodaj 3 do 37.

$$4x=40$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=10$$

Podstaw 10 do x w równaniu -3x-y=-37. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$-3\times 10-y=-37$$

Pomnóż -3 przez 10.

$$-30-y=-37$$

Dodaj 30 do obu stron równania.

$$-y=-7$$

Podziel obie strony przez -1.

$$y=7$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=10,y=7$$