Rozwiąż {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Kroki z użyciem podstawiania i formuły kwadratowej

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

Rozwiązania x+y=1 dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+y=1$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$x=-y+1$$

Podstaw -y+1 do x w drugim równaniu: y^{2}+x^{2}=4.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

Podnieś do kwadratu -y+1.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Dodaj y^{2} do y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Odejmij 4 od obu stron równania.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1+1\left(-1\right)^{2} do a, 1\times 1\left(-1\right)\times 2 do b i -3 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu 1\times 1\left(-1\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Dodaj 4 do 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 28.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Liczba przeciwna do 1\times 1\left(-1\right)\times 2 to 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 2 do 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Podziel 2+2\sqrt{7} przez 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 2\sqrt{7} od 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Podziel 2-2\sqrt{7} przez 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Istnieją dwa rozwiązania dla y: \frac{1+\sqrt{7}}{2} i \frac{1-\sqrt{7}}{2}. Podstaw \frac{1+\sqrt{7}}{2} jako y w równaniu x=-y+1, aby znaleźć odpowiednie rozwiązanie dla x spełniające oba równania.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Teraz podstaw \frac{1-\sqrt{7}}{2} do y w równaniu x=-y+1 i rozwiąż je, aby znaleźć odpowiednie rozwiązanie względem x spełniające oba równania.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$