Rozwiąż {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 3y od obu stron.

$$x+36-3y=0$$

Odejmij 36 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$x-3y=-36$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+y=90$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$x=-y+90$$

Podstaw -y+90 do x w drugim równaniu: x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Dodaj -y do -3y.

$$-4y+90=-36$$

Odejmij 90 od obu stron równania.

$$-4y=-126$$

Podziel obie strony przez -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Podstaw \frac{63}{2} do y w równaniu x=-y+90. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Dodaj 90 do -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 3y od obu stron.

$$x+36-3y=0$$

Odejmij 36 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$x-3y=-36$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 3y od obu stron.

$$x+36-3y=0$$

Odejmij 36 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$x-3y=-36$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Odejmij x-3y=-36 od x+y=90, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Dodaj x do -x. Czynniki x i -x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$y+3y=90+36$$

Dodaj y do 3y.

$$4y=90+36$$

Dodaj 90 do 36.

$$4y=126$$

Podziel obie strony przez 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Podstaw \frac{63}{2} do y w równaniu x-3y=-36. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Pomnóż -3 przez \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Dodaj \frac{189}{2} do obu stron równania.

$$x=\frac{117}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$