Rozwiąż {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+3y=7$$

Odejmij 3y od obu stron równania.

$$x=-3y+7$$

Podstaw -3y+7 do x w drugim równaniu: 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Pomnóż 3 przez -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Dodaj -9y do y.

$$-8y+21=17$$

Odejmij 21 od obu stron równania.

$$-8y=-4$$

Podziel obie strony przez -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Podstaw \frac{1}{2} do y w równaniu x=-3y+7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Pomnóż -3 przez \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Dodaj 7 do -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Aby czynniki x i 3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Uprość.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Odejmij 3x+y=17 od 3x+9y=21, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Dodaj 3x do -3x. Czynniki 3x i -3x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$9y-y=21-17$$

Dodaj 9y do -y.

$$8y=21-17$$

Dodaj 21 do -17.

$$8y=4$$

Podziel obie strony przez 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Podstaw \frac{1}{2} do y w równaniu 3x+y=17. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$