Rozwiąż {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x+15-y=0$$

Odejmij 15 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$x-y=-15$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij y od obu stron.

$$4x-y=0$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x-y=-15$$

Dodaj y do obu stron równania.

$$x=y-15$$

Podstaw y-15 do x w drugim równaniu: 4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Pomnóż 4 przez y-15.

$$4y-60-y=0$$

Dodaj 4y do -y.

$$3y-60=0$$

Dodaj 60 do obu stron równania.

$$3y=60$$

Podziel obie strony przez 3.

$$y=20$$

Podstaw 20 do y w równaniu x=y-15. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=20-15$$

Dodaj -15 do 20.

$$x=5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=5,y=20$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x+15-y=0$$

Odejmij 15 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$x-y=-15$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij y od obu stron.

$$4x-y=0$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=5,y=20$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x+15-y=0$$

Odejmij 15 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$x-y=-15$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij y od obu stron.

$$4x-y=0$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Odejmij 4x-y=0 od x-y=-15, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$x-4x-y+y=-15$$

Dodaj -y do y. Czynniki -y i y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$x-4x=-15$$

Dodaj x do -4x.

$$-3x=-15$$

Podziel obie strony przez -3.

$$x=5$$

Podstaw 5 do x w równaniu 4x-y=0. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$4\times 5-y=0$$

Pomnóż 4 przez 5.

$$20-y=0$$

Odejmij 20 od obu stron równania.

$$-y=-20$$

Podziel obie strony przez -1.

$$y=20$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=5,y=20$$