Rozwiąż {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=400$$

$$y=20$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$x+20y=800$$

Uwzględnij drugie równanie. Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$x+15y=700$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+20y=800$$

Odejmij 20y od obu stron równania.

$$x=-20y+800$$

Podstaw -20y+800 do x w drugim równaniu: x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Dodaj -20y do 15y.

$$-5y+800=700$$

Odejmij 800 od obu stron równania.

$$-5y=-100$$

Podziel obie strony przez -5.

$$y=20$$

Podstaw 20 do y w równaniu x=-20y+800. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-20\times 20+800$$

Pomnóż -20 przez 20.

$$x=-400+800$$

Dodaj 800 do -400.

$$x=400$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=400,y=20$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$x+20y=800$$

Uwzględnij drugie równanie. Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$x+15y=700$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=400,y=20$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$x+20y=800$$

Uwzględnij drugie równanie. Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$x+15y=700$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Odejmij x+15y=700 od x+20y=800, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Dodaj x do -x. Czynniki x i -x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$20y-15y=800-700$$

Dodaj 20y do -15y.

$$5y=800-700$$

Dodaj 800 do -700.

$$5y=100$$

Podziel obie strony przez 5.

$$y=20$$

Podstaw 20 do y w równaniu x+15y=700. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x+15\times 20=700$$

Pomnóż 15 przez 20.

$$x+300=700$$

Odejmij 300 od obu stron równania.

$$x=400$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=400,y=20$$