Rozwiąż {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 2y od obu stron.

$$8+4x-2y=0$$

Odejmij 8 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$4x-2y=-8$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj 3y do obu stron.

$$-4x+3y=14$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$4x-2y=-8$$

Dodaj 2y do obu stron równania.

$$4x=2y-8$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Podstaw \frac{y}{2}-2 do x w drugim równaniu: -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Pomnóż -4 przez \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Dodaj -2y do 3y.

$$y+8=14$$

Odejmij 8 od obu stron równania.

$$y=6$$

Podstaw 6 do y w równaniu x=\frac{1}{2}y-2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez 6.

$$x=3-2$$

Dodaj -2 do 3.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=6$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 2y od obu stron.

$$8+4x-2y=0$$

Odejmij 8 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$4x-2y=-8$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj 3y do obu stron.

$$-4x+3y=14$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=1,y=6$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 2y od obu stron.

$$8+4x-2y=0$$

Odejmij 8 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$4x-2y=-8$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj 3y do obu stron.

$$-4x+3y=14$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Aby czynniki 4x i -4x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Uprość.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Odejmij -16x+12y=56 od -16x+8y=32, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Dodaj -16x do 16x. Czynniki -16x i 16x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$8y-12y=32-56$$

Dodaj 8y do -12y.

$$-4y=32-56$$

Dodaj 32 do -56.

$$-4y=-24$$

Podziel obie strony przez -4.

$$y=6$$

Podstaw 6 do y w równaniu -4x+3y=14. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$-4x+3\times 6=14$$

Pomnóż 3 przez 6.

$$-4x+18=14$$

Odejmij 18 od obu stron równania.

$$-4x=-4$$

Podziel obie strony przez -4.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=6$$