Rozwiąż {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$5x+y=9$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$5x=-y+9$$

Podziel obie strony przez 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Pomnóż \frac{1}{5} przez -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Podstaw \frac{-y+9}{5} do x w drugim równaniu: 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Pomnóż 10 przez \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Dodaj -2y do -7y.

$$-9y+18=-18$$

Odejmij 18 od obu stron równania.

$$-9y=-36$$

Podziel obie strony przez -9.

$$y=4$$

Podstaw 4 do y w równaniu x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Pomnóż -\frac{1}{5} przez 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Dodaj \frac{9}{5} do -\frac{4}{5}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=4$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=1,y=4$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Aby czynniki 5x i 10x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 10 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Uprość.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Odejmij 50x-35y=-90 od 50x+10y=90, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Dodaj 50x do -50x. Czynniki 50x i -50x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$10y+35y=90+90$$

Dodaj 10y do 35y.

$$45y=90+90$$

Dodaj 90 do 90.

$$45y=180$$

Podziel obie strony przez 45.

$$y=4$$

Podstaw 4 do y w równaniu 10x-7y=-18. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$10x-7\times 4=-18$$

Pomnóż -7 przez 4.

$$10x-28=-18$$

Dodaj 28 do obu stron równania.

$$10x=10$$

Podziel obie strony przez 10.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=4$$