Rozwiąż {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$4x+y=8$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$4x=-y+8$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

Podstaw -\frac{y}{4}+2 do x w drugim równaniu: x-y=2.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

Dodaj -\frac{y}{4} do -y.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{5}{4}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=0$$

Podstaw 0 do y w równaniu x=-\frac{1}{4}y+2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=0$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=2,y=0$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Aby czynniki 4x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

Uprość.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

Odejmij 4x-4y=8 od 4x+y=8, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

Dodaj 4x do -4x. Czynniki 4x i -4x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$y+4y=8-8$$

Dodaj y do 4y.

$$5y=8-8$$

Dodaj 8 do -8.

$$5y=0$$

Podziel obie strony przez 5.

$$y=0$$

Podstaw 0 do y w równaniu x-y=2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=0$$