Rozwiąż {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$4x+y=7$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$4x=-y+7$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

Podstaw \frac{-y+7}{4} do x w drugim równaniu: 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

Pomnóż 3 przez \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Dodaj -\frac{3y}{4} do 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Odejmij \frac{21}{4} od obu stron równania.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{5}{4}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Pomnóż -\frac{1}{4} przez 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Dodaj \frac{7}{4} do -\frac{3}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=3$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=1,y=3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Aby czynniki 4x i 3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Uprość.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

Odejmij 12x+8y=36 od 12x+3y=21, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Dodaj 12x do -12x. Czynniki 12x i -12x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$3y-8y=21-36$$

Dodaj 3y do -8y.

$$-5y=21-36$$

Dodaj 21 do -36.

$$-5y=-15$$

Podziel obie strony przez -5.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu 3x+2y=9. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$3x+2\times 3=9$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$3x+6=9$$

Odejmij 6 od obu stron równania.

$$3x=3$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=3$$