Rozwiąż {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$4x+2y=2$$

Odejmij 2y od obu stron równania.

$$4x=-2y+2$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Podstaw \frac{-y+1}{2} do x w drugim równaniu: x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Dodaj -\frac{y}{2} do y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Pomnóż obie strony przez 2.

$$y=7$$

Podstaw 7 do y w równaniu x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Pomnóż -\frac{1}{2} przez 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do -\frac{7}{2}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-3,y=7$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-3,y=7$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Aby czynniki 4x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Uprość.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Odejmij 4x+4y=16 od 4x+2y=2, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Dodaj 4x do -4x. Czynniki 4x i -4x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$2y-4y=2-16$$

Dodaj 2y do -4y.

$$-2y=2-16$$

Dodaj 2 do -16.

$$-2y=-14$$

Podziel obie strony przez -2.

$$y=7$$

Podstaw 7 do y w równaniu x+y=4. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x+7=4$$

Odejmij 7 od obu stron równania.

$$x=-3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-3,y=7$$