Rozwiąż {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x_{1} izolując x_{1} na lewej stronie znaku równości.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Odejmij 3x_{2} od obu stron równania.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Podstaw \frac{-3x_{2}+7}{2} do x_{1} w drugim równaniu: 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Pomnóż 4 przez \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Dodaj -6x_{2} do -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Odejmij 14 od obu stron równania.

$$-10x_{2}=-20$$

Podziel obie strony przez -10.

$$x_{2}=2$$

Podstaw 2 do x_{2} w równaniu x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x_{1}.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Pomnóż -\frac{3}{2} przez 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Dodaj \frac{7}{2} do -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x_{1} i x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Aby czynniki 2x_{1} i 4x_{1} były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Uprość.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Odejmij 8x_{1}-8x_{2}=-12 od 8x_{1}+12x_{2}=28, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Dodaj 8x_{1} do -8x_{1}. Czynniki 8x_{1} i -8x_{1} skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Dodaj 12x_{2} do 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Dodaj 28 do 12.

$$20x_{2}=40$$

Podziel obie strony przez 20.

$$x_{2}=2$$

Podstaw 2 do x_{2} w równaniu 4x_{1}-4x_{2}=-6. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x_{1}.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Dodaj 8 do obu stron równania.

$$4x_{1}=2$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$