Rozwiąż {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 7x od obu stron.

$$y-7x=3$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x+y=-6$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$2x=-y-6$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Podstaw -\frac{y}{2}-3 do x w drugim równaniu: -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Pomnóż -7 przez -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Dodaj \frac{7y}{2} do y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Odejmij 21 od obu stron równania.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Podziel obie strony równania przez \frac{9}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=-4$$

Podstaw -4 do y w równaniu x=-\frac{1}{2}y-3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Pomnóż -\frac{1}{2} przez -4.

$$x=2-3$$

Dodaj -3 do 2.

$$x=-1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=-4$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 7x od obu stron.

$$y-7x=3$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-1,y=-4$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 7x od obu stron.

$$y-7x=3$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Odejmij -7x+y=3 od 2x+y=-6, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$2x+7x=-6-3$$

Dodaj 2x do 7x.

$$9x=-6-3$$

Dodaj -6 do -3.

$$9x=-9$$

Podziel obie strony przez 9.

$$x=-1$$

Podstaw -1 do x w równaniu -7x+y=3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Pomnóż -7 przez -1.

$$7+y=3$$

Odejmij 7 od obu stron równania.

$$y=-4$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=-4$$