Rozwiąż {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x+5y=259$$

Odejmij 5y od obu stron równania.

$$2x=-5y+259$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Podstaw \frac{-5y+259}{2} do x w drugim równaniu: 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Pomnóż 199 przez \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Dodaj -\frac{995y}{2} do -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Odejmij \frac{51541}{2} od obu stron równania.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{999}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Podstaw \frac{16429}{333} do y w równaniu x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Pomnóż -\frac{5}{2} przez \frac{16429}{333}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Dodaj \frac{259}{2} do -\frac{82145}{666}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{2051}{333}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Aby czynniki 2x i 199x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 199 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Uprość.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Odejmij 398x-4y=2254 od 398x+995y=51541, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Dodaj 398x do -398x. Czynniki 398x i -398x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$995y+4y=51541-2254$$

Dodaj 995y do 4y.

$$999y=51541-2254$$

Dodaj 51541 do -2254.

$$999y=49287$$

Podziel obie strony przez 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Podstaw \frac{16429}{333} do y w równaniu 199x-2y=1127. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Pomnóż -2 przez \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Dodaj \frac{32858}{333} do obu stron równania.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Podziel obie strony przez 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$