Rozwiąż {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x+16y=22$$

Odejmij 16y od obu stron równania.

$$2x=-16y+22$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Podstaw -8y+11 do x w drugim równaniu: 4x+8y=20.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Pomnóż 4 przez -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Dodaj -32y do 8y.

$$-24y+44=20$$

Odejmij 44 od obu stron równania.

$$-24y=-24$$

Podziel obie strony przez -24.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu x=-8y+11. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-8+11$$

Dodaj 11 do -8.

$$x=3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=3,y=1$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=3,y=1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Aby czynniki 2x i 4x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Uprość.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

Odejmij 8x+16y=40 od 8x+64y=88, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Dodaj 8x do -8x. Czynniki 8x i -8x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$64y-16y=88-40$$

Dodaj 64y do -16y.

$$48y=88-40$$

Dodaj 88 do -40.

$$48y=48$$

Podziel obie strony przez 48.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu 4x+8y=20. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$4x+8=20$$

Odejmij 8 od obu stron równania.

$$4x=12$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=3,y=1$$