Rozwiąż {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$13x+20y=48$$

Odejmij 20y od obu stron równania.

$$13x=-20y+48$$

Podziel obie strony przez 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

Pomnóż \frac{1}{13} przez -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Podstaw \frac{-20y+48}{13} do x w drugim równaniu: 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

Pomnóż 20 przez \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

Dodaj -\frac{400y}{13} do 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Odejmij \frac{960}{13} od obu stron równania.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{809}{13}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Podstaw -\frac{947}{809} do y w równaniu x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Pomnóż -\frac{20}{13} przez -\frac{947}{809}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

Dodaj \frac{48}{13} do \frac{18940}{10517}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{4444}{809}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Aby czynniki 13x i 20x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 20 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Uprość.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

Odejmij 260x+1209y=13 od 260x+400y=960, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

Dodaj 260x do -260x. Czynniki 260x i -260x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$400y-1209y=960-13$$

Dodaj 400y do -1209y.

$$-809y=960-13$$

Dodaj 960 do -13.

$$-809y=947$$

Podziel obie strony przez -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Podstaw -\frac{947}{809} do y w równaniu 20x+93y=1. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

Pomnóż 93 przez -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Dodaj \frac{88071}{809} do obu stron równania.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Podziel obie strony przez 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$