Rozwiąż {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Zmienna x nie może być równa \frac{4}{3}, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 2\left(3x-4\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 3x-4,2).

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Odejmij 3x od obu stron.

$$2y+2-3x=-4$$

Odejmij 2 od obu stron.

$$2y-3x=-4-2$$

Odejmij 2 od -4, aby uzyskać -6.

$$2y-3x=-6$$

Uwzględnij drugie równanie. Zmienna x nie może być równa -\frac{11}{3}, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Odejmij 3x od obu stron.

$$5x+y-3x=11$$

Połącz 5x i -3x, aby uzyskać 2x.

$$2x+y=11$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla y izolując y na lewej stronie znaku równości.

$$2y-3x=-6$$

Dodaj 3x do obu stron równania.

$$2y=3x-6$$

Podziel obie strony przez 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Podstaw \frac{3x}{2}-3 do y w drugim równaniu: y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Dodaj \frac{3x}{2} do 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Dodaj 3 do obu stron równania.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Podziel obie strony równania przez \frac{7}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$x=4$$

Podstaw 4 do x w równaniu y=\frac{3}{2}x-3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Pomnóż \frac{3}{2} przez 4.

$$y=6-3$$

Dodaj -3 do 6.

$$y=3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=3,x=4$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Zmienna x nie może być równa \frac{4}{3}, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 2\left(3x-4\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 3x-4,2).

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Odejmij 3x od obu stron.

$$2y+2-3x=-4$$

Odejmij 2 od obu stron.

$$2y-3x=-4-2$$

Odejmij 2 od -4, aby uzyskać -6.

$$2y-3x=-6$$

Uwzględnij drugie równanie. Zmienna x nie może być równa -\frac{11}{3}, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Odejmij 3x od obu stron.

$$5x+y-3x=11$$

Połącz 5x i -3x, aby uzyskać 2x.

$$2x+y=11$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=3,x=4$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Zmienna x nie może być równa \frac{4}{3}, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 2\left(3x-4\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 3x-4,2).

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Odejmij 3x od obu stron.

$$2y+2-3x=-4$$

Odejmij 2 od obu stron.

$$2y-3x=-4-2$$

Odejmij 2 od -4, aby uzyskać -6.

$$2y-3x=-6$$

Uwzględnij drugie równanie. Zmienna x nie może być równa -\frac{11}{3}, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Odejmij 3x od obu stron.

$$5x+y-3x=11$$

Połącz 5x i -3x, aby uzyskać 2x.

$$2x+y=11$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Aby czynniki 2y i y były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Uprość.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Odejmij 2y+4x=22 od 2y-3x=-6, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Dodaj 2y do -2y. Czynniki 2y i -2y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-3x-4x=-6-22$$

Dodaj -3x do -4x.

$$-7x=-6-22$$

Dodaj -6 do -22.

$$-7x=-28$$

Podziel obie strony przez -7.

$$x=4$$

Podstaw 4 do x w równaniu y+2x=11. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y+2\times 4=11$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$y+8=11$$

Odejmij 8 od obu stron równania.

$$y=3$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=3,x=4$$