Rozwiąż {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 6 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 3,2).

$$2x-3y=48$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 15 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 5,3).

$$3x+5y=15$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$2x-3y=48$$

Dodaj 3y do obu stron równania.

$$2x=3y+48$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Podstaw \frac{3y}{2}+24 do x w drugim równaniu: 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Pomnóż 3 przez \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Dodaj \frac{9y}{2} do 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Odejmij 72 od obu stron równania.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Podziel obie strony równania przez \frac{19}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=-6$$

Podstaw -6 do y w równaniu x=\frac{3}{2}y+24. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Pomnóż \frac{3}{2} przez -6.

$$x=-9+24$$

Dodaj 24 do -9.

$$x=15$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=15,y=-6$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 6 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 3,2).

$$2x-3y=48$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 15 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 5,3).

$$3x+5y=15$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=15,y=-6$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 6 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 3,2).

$$2x-3y=48$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 15 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 5,3).

$$3x+5y=15$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Aby czynniki 2x i 3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Uprość.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Odejmij 6x+10y=30 od 6x-9y=144, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Dodaj 6x do -6x. Czynniki 6x i -6x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-9y-10y=144-30$$

Dodaj -9y do -10y.

$$-19y=144-30$$

Dodaj 144 do -30.

$$-19y=114$$

Podziel obie strony przez -19.

$$y=-6$$

Podstaw -6 do y w równaniu 3x+5y=15. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Pomnóż 5 przez -6.

$$3x-30=15$$

Dodaj 30 do obu stron równania.

$$3x=45$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=15$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=15,y=-6$$