Rozwiąż {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Zmienna L nie może być równa 0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez L.

$$k=100L$$

Podstaw 100L do k w drugim równaniu: 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Pomnóż 5 przez 100L.

$$500L+50L=110$$

Dodaj 500L do 50L.

$$550L=110$$

Podziel obie strony przez 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Podstaw \frac{1}{5} do L w równaniu k=100L. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem k.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Pomnóż 100 przez \frac{1}{5}.

$$k=20$$

System jest teraz rozwiązany.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Zmienna L nie może być równa 0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez L.

$$k=100L$$

Odejmij 100L od obu stron.

$$k-100L=0$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy k i L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Zmienna L nie może być równa 0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez L.

$$k=100L$$

Odejmij 100L od obu stron.

$$k-100L=0$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Aby czynniki k i 5k były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 5 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Uprość.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Odejmij 5k+50L=110 od 5k-500L=0, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Dodaj 5k do -5k. Czynniki 5k i -5k skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-500L-50L=-110$$

Dodaj -500L do -50L.

$$-550L=-110$$

Podziel obie strony przez -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Podstaw \frac{1}{5} do L w równaniu 5k+50L=110. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem k.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Pomnóż 50 przez \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Odejmij 10 od obu stron równania.

$$5k=100$$

Podziel obie strony przez 5.

$$k=20$$

System jest teraz rozwiązany.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$