Rozwiąż {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=28$$

$$y=25$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x-3-y=0$$

Dodaj 3 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$x-y=3$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 3y od obu stron.

$$4x-3y=37$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x-y=3$$

Dodaj y do obu stron równania.

$$x=y+3$$

Podstaw y+3 do x w drugim równaniu: 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Pomnóż 4 przez y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Dodaj 4y do -3y.

$$y+12=37$$

Odejmij 12 od obu stron równania.

$$y=25$$

Podstaw 25 do y w równaniu x=y+3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=25+3$$

Dodaj 3 do 25.

$$x=28$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=28,y=25$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x-3-y=0$$

Dodaj 3 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$x-y=3$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 3y od obu stron.

$$4x-3y=37$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=28,y=25$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij y od obu stron.

$$x-3-y=0$$

Dodaj 3 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$x-y=3$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 3y od obu stron.

$$4x-3y=37$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Aby czynniki x i 4x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Uprość.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Odejmij 4x-3y=37 od 4x-4y=12, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Dodaj 4x do -4x. Czynniki 4x i -4x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-4y+3y=12-37$$

Dodaj -4y do 3y.

$$-y=12-37$$

Dodaj 12 do -37.

$$-y=-25$$

Podziel obie strony przez -1.

$$y=25$$

Podstaw 25 do y w równaniu 4x-3y=37. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$4x-3\times 25=37$$

Pomnóż -3 przez 25.

$$4x-75=37$$

Dodaj 75 do obu stron równania.

$$4x=112$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=28$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=28,y=25$$