Rozwiąż {c}{x+y=9}{4x+5y=39}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=6$$

$$y=3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+y=9$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$x=-y+9$$

Podstaw -y+9 do x w drugim równaniu: 4x+5y=39.

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

Pomnóż 4 przez -y+9.

$$-4y+36+5y=39$$

Dodaj -4y do 5y.

$$y+36=39$$

Odejmij 36 od obu stron równania.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu x=-y+9. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-3+9$$

Dodaj 9 do -3.

$$x=6$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=6,y=3$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=6,y=3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Aby czynniki x i 4x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

Uprość.

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

Odejmij 4x+5y=39 od 4x+4y=36, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

Dodaj 4x do -4x. Czynniki 4x i -4x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$4y-5y=36-39$$

Dodaj 4y do -5y.

$$-y=36-39$$

Dodaj 36 do -39.

$$-y=-3$$

Podziel obie strony przez -1.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu 4x+5y=39. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$4x+5\times 3=39$$

Pomnóż 5 przez 3.

$$4x+15=39$$

Odejmij 15 od obu stron równania.

$$4x=24$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=6$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=6,y=3$$