Rozwiąż {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+y=21$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$x=-y+21$$

Podstaw -y+21 do x w drugim równaniu: 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Pomnóż 0.25 przez -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Dodaj -\frac{y}{4} do \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Odejmij 5.25 od obu stron równania.

$$-0.2y=-1.9$$

Pomnóż obie strony przez -5.

$$y=9.5$$

Podstaw 9.5 do y w równaniu x=-y+21. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-9.5+21$$

Dodaj 21 do -9.5.

$$x=11.5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=11.5,y=9.5$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=11.5,y=9.5$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Aby czynniki x i \frac{x}{4} były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 0.25 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Uprość.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

Odejmij 0.25x+0.05y=3.35 od 0.25x+0.25y=5.25, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Dodaj \frac{x}{4} do -\frac{x}{4}. Czynniki \frac{x}{4} i -\frac{x}{4} skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Dodaj \frac{y}{4} do -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Dodaj 5.25 do -3.35, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$0.2y=1.9$$

Pomnóż obie strony przez 5.

$$y=9.5$$

Podstaw 9.5 do y w równaniu 0.25x+0.05y=3.35. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Pomnóż 0.05 przez 9.5, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Odejmij 0.475 od obu stron równania.

$$0.25x=2.875$$

Pomnóż obie strony przez 4.

$$x=11.5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=11.5,y=9.5$$