Rozwiąż {c}{x+3y=14}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x+3y=14$$

Odejmij 3y od obu stron równania.

$$x=-3y+14$$

Podstaw -3y+14 do x w drugim równaniu: 4x-y=4.

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

Pomnóż 4 przez -3y+14.

$$-12y+56-y=4$$

Dodaj -12y do -y.

$$-13y+56=4$$

Odejmij 56 od obu stron równania.

$$-13y=-52$$

Podziel obie strony przez -13.

$$y=4$$

Podstaw 4 do y w równaniu x=-3y+14. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-3\times 4+14$$

Pomnóż -3 przez 4.

$$x=-12+14$$

Dodaj 14 do -12.

$$x=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=4$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=2,y=4$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Aby czynniki x i 4x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

Uprość.

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

Odejmij 4x-y=4 od 4x+12y=56, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

Dodaj 4x do -4x. Czynniki 4x i -4x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$12y+y=56-4$$

Dodaj 12y do y.

$$13y=56-4$$

Dodaj 56 do -4.

$$13y=52$$

Podziel obie strony przez 13.

$$y=4$$

Podstaw 4 do y w równaniu 4x-y=4. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$4x-4=4$$

Dodaj 4 do obu stron równania.

$$4x=8$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=4$$