Rozwiąż {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla a izolując a na lewej stronie znaku równości.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Odejmij b od obu stron równania.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Podziel obie strony równania przez \frac{3}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Pomnóż \frac{2}{3} przez -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Podstaw \frac{-2b+2}{3} do a w drugim równaniu: a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Dodaj -\frac{2b}{3} do \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Odejmij \frac{2}{3} od obu stron równania.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Pomnóż obie strony przez -6.

$$b=-38$$

Podstaw -38 do b w równaniu a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem a.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Pomnóż -\frac{2}{3} przez -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Dodaj \frac{2}{3} do \frac{76}{3}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$a=26$$

System jest teraz rozwiązany.

$$a=26,b=-38$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy a i b.

$$a=26,b=-38$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Aby czynniki \frac{3a}{2} i a były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Uprość.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Odejmij \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} od \frac{3}{2}a+b=1, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Dodaj \frac{3a}{2} do -\frac{3a}{2}. Czynniki \frac{3a}{2} i -\frac{3a}{2} skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Dodaj b do -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Dodaj 1 do -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Pomnóż obie strony przez 4.

$$b=-38$$

Podstaw -38 do b w równaniu a+\frac{1}{2}b=7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem a.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -38.

$$a-19=7$$

Dodaj 19 do obu stron równania.

$$a=26$$

System jest teraz rozwiązany.

$$a=26,b=-38$$