Rozwiąż {lll}{i}&{j}&{k}{1}&{2}&{3}{4}&{5}&{6}

$$\left| \begin{array} { l l l } { i } & { j } & { k } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 5 } & { 6 } \end{array} \right|$$

Oblicz

$$6j-3k-3i$$

Kroki z użyciem reguły Sarrusa

Znajdź wyznacznik macierzy za pomocą metody przekątnych.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&2&3\\4&5&6\end{matrix}\right))$$

Rozszerz oryginalną macierz, powtarzając pierwsze dwie kolumny jako czwartą i piątą kolumnę.

$$\left(\begin{matrix}i&j&k&i&j\\1&2&3&1&2\\4&5&6&4&5\end{matrix}\right)$$

Zaczynając od lewej górnej pozycji, pomnóż w dół wzdłuż przekątnych i dodaj otrzymane iloczyny.

$$2i\times 6+j\times 3\times 4+k\times 5=12j+5k+12i$$

Zaczynając od lewej dolnej pozycji, pomnóż w górę wzdłuż przekątnych i dodaj otrzymane iloczyny.

$$4\times 2k+5\times \left(3i\right)+6j=6j+8k+15i$$

Odejmij sumę iloczynów przekątnej skierowanej w górę do sumy iloczynów przekątnej skierowanej w dół.

$$12j+5k+12i-\left(6j+8k+15i\right)$$

Odejmij 8k+15i+6j od 12i+12j+5k.

$$6j-3k-3i$$

Kroki z użyciem rozwinięcia minorów

Znajdź wyznacznik macierzy za pomocą metody rozwinięcia minorów (nazywanej też rozwinięciem dopełnień algebraicznych).

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&2&3\\4&5&6\end{matrix}\right))$$

Aby rozwinąć według minorów, pomnóż każdy element pierwszego wiersza przez jego minor, który jest wyznacznikiem macierzy 2\times 2 utworzonej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierających dany element, a następnie pomnóż przez znak pozycji elementu.

$$idet(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))$$

Dla \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzy 2\times 2 ad-bc.

$$i\left(2\times 6-5\times 3\right)-j\left(6-4\times 3\right)+k\left(5-4\times 2\right)$$

Uprość.

$$-3i-j\left(-6\right)+k\left(-3\right)$$

Dodaj czynniki, aby uzyskać końcowy wynik.

$$6j-3k-3i$$