Rozwiąż {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y-2x=4$$

Dodaj 2x do obu stron równania.

$$y=2x+4$$

Podstaw 4+2x do y w drugim równaniu: 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Pomnóż 3 przez 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Dodaj 6x do 2x.

$$8x+12=28$$

Odejmij 12 od obu stron równania.

$$8x=16$$

Podziel obie strony przez 8.

$$x=2$$

Podstaw 2 do x w równaniu y=2x+4. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=2\times 2+4$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$y=4+4$$

Dodaj 4 do 4.

$$y=8$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=8,x=2$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=8,x=2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Aby czynniki y i 3y były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Uprość.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Odejmij 3y+2x=28 od 3y-6x=12, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Dodaj 3y do -3y. Czynniki 3y i -3y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-6x-2x=12-28$$

Dodaj -6x do -2x.

$$-8x=12-28$$

Dodaj 12 do -28.

$$-8x=-16$$

Podziel obie strony przez -8.

$$x=2$$

Podstaw 2 do x w równaniu 3y+2x=28. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$3y+2\times 2=28$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$3y+4=28$$

Odejmij 4 od obu stron równania.

$$3y=24$$

Podziel obie strony przez 3.

$$y=8$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=8,x=2$$