Rozwiąż {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 3x od obu stron.

$$y-3x=0$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y-3x=0$$

Dodaj 3x do obu stron równania.

$$y=3x$$

Podstaw 3x do y w drugim równaniu: y+x=16.

$$3x+x=16$$

Dodaj 3x do x.

$$4x=16$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=4$$

Podstaw 4 do x w równaniu y=3x. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=3\times 4$$

Pomnóż 3 przez 4.

$$y=12$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=12,x=4$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 3x od obu stron.

$$y-3x=0$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=12,x=4$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 3x od obu stron.

$$y-3x=0$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Odejmij y+x=16 od y-3x=0, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$y-y-3x-x=-16$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-3x-x=-16$$

Dodaj -3x do -x.

$$-4x=-16$$

Podziel obie strony przez -4.

$$x=4$$

Podstaw 4 do x w równaniu y+x=16. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y+4=16$$

Odejmij 4 od obu stron równania.

$$y=12$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=12,x=4$$