Rozwiąż {l}{y=-2x+2}{y=4x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y = 4 x - 4 } \end{array} \right\}$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=1$$

$$y=0$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj 2x do obu stron.

$$y+2x=2$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 4x od obu stron.

$$y-4x=-4$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y+2x=2$$

Odejmij 2x od obu stron równania.

$$y=-2x+2$$

Podstaw -2x+2 do y w drugim równaniu: y-4x=-4.

$$-2x+2-4x=-4$$

Dodaj -2x do -4x.

$$-6x+2=-4$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$-6x=-6$$

Podziel obie strony przez -6.

$$x=1$$

Podstaw 1 do x w równaniu y=-2x+2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=-2+2$$

Dodaj 2 do -2.

$$y=0$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=0,x=1$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj 2x do obu stron.

$$y+2x=2$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 4x od obu stron.

$$y-4x=-4$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{6}\times 2-\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=0,x=1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Dodaj 2x do obu stron.

$$y+2x=2$$

Uwzględnij drugie równanie. Odejmij 4x od obu stron.

$$y-4x=-4$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Odejmij y-4x=-4 od y+2x=2, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$y-y+2x+4x=2+4$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$2x+4x=2+4$$

Dodaj 2x do 4x.

$$6x=2+4$$

Dodaj 2 do 4.

$$6x=6$$

Podziel obie strony przez 6.

$$x=1$$

Podstaw 1 do x w równaniu y-4x=-4. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y-4=-4$$

Dodaj 4 do obu stron równania.

$$y=0$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=0,x=1$$